|
1700- 1900 yillari arasini kapsayan ve matematigin altin çagi olarak bilinen, bu dördüncü dönem, klasik matematik dönemidir. 18. asirda matematige en önemli katkilari yapan bilim adamlarinin basinda Euler, Laplace, Lagrange ve D’Alembert’i sayabiliriz.
Leonhard Euler (1707-1783) Isviçre’de, Basel de dogmus, meslek hayatinin tamami Petersbourg ve Berlin’de geçmistir. Tarihin en üretken bilim adamidir. Kalkülüsün ortaya çikardigi olanaklari sayilar teorisinden, differensiyel denklemlere; differensiyel denklemlerden, mühendislik problemlerine… uygulayan Euler, 30.000 sayfadan fazla bilimsel eser üretmistir. Öldükten 50 sene sonra dahi, birikmis makalelerinin yayini sürmüstür. Euler’le matematik evrensel boyutlara erismistir. Bugün bile matematikçilerin yaptigi islerin bir çogunun temel fikri veya baslangici Euler’in çalismalaridir. Euler’le Analiz yeni bir bilim dali olarak temeyyüz etmistir; bu dalin büyük babalari Eudoxus ve Arsimed ise, babasi Euler’dir.
Laplace (1749-1827) Fransa’da, Normandia’ da dogmustur. Gök ve yer mekanigi hakkinda yazdigi 11 ciltlik eseri, bütün zamanlarda mekanik hakkinda yazilmis en kapsamli eserlerinden biridir. “Theorie Analytique des Probabilites” baslikli kitabi olasilik teorisinin ilk önemli eseridir.
Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) Italya’da Turin’da dogmus, meslek hayatinin büyük bölümünü Berlin ve Paris’te geçirmistir. Italya’da dogmasina ragmen Fransiz matematikçisi olarak bilinir. Lagrange cebirsel denklemlerin çözülebilirligi, mekanik, differensiyel denklemler ve varyasyon hesabina önemli katkilar yapmis, fikirleri ve yöntemleri bugün de kullanilan bir bilim adamidir.
Jean Le Rond D’Alembert (1717-1783) Paris’te dogmus, Fransa’da yasamistir. D’Alembert kismi differensiyel denklemleri ilk inceleyen bilim adamlarindan biridir. Kismi differensiyel denklemler ve akiskanlar mekanigi ilgili çalismalari ve felsefi yazilari disinda, Diderot ile beraber editörlügünü yaptigi ünlü 28 ciltlik “Encyclopedie” nin matematik maddelerinin hemen hemen tümünü D’Alembert yazmistir. Bu eser Fransiz aydinlanmasinin temel eserlerinden biridir.
Bu yüzyilin matematigi çesitli, kapsamli ve fikir yönünden zengindir. En önemli zaaflari, kesinlik (rigor) eksikligi; yapilan islerin, günümüzün standartlarina göre, yarim yamalak, kusurlu ve eksik olusudur.
1800-1900 Arasi. 19. asir çok sayida, matematige önemli katkilari olmus, bilim adamin yasadigi bir asirdir.1800 lerin basinda matematik derin bir kriz içindeydi. Bunun nedeni, Fermat (1636) dan beri türevin taniminda, ve türevin ise karistigi bir çok yerde, sonsuz küçük (infinitesimal) kavraminin kullanilmasi ve matematikçilerin bunu çok tutarsiz bir sekilde kullanmalariydi. Bu tarihlerde henüz limit kavraminin olmadigini ve türevin limit vasitasiyla degil, “sonsuz küçük” kavrami kullanilarak tanimlandigini burada belirtmem gerekir. Bu tutarsizlik çok elestirilmis, özellikle de düsünür-din adami G. Berkley (1685-1753) nin matematikçilerin tutarsizligini ortaya koydugu 40 sayfalik bir elestiri kitabi derin etki yapmis, bir çok matematikçinin meslek degistirmesine ve matematige karsi tavir almalarina neden olmustur. 1800 basinda, fonksiyon kavraminin, son yüz yildir kullanila gelmesine karsin, henüz tam olarak tanimlanmamis olmasi ve matematikçilerin fonksiyonu ayni sekilde anlamamalari da baska bir anlasmazligin ve karmasanin nedeniydi. Yine,1800 lerin basinda süreklilik ve fonksiyon serilerinin yakinsakligi tam olarak anlasilmamisti; henüz düzgün süreklilik ve düzgün yakinsaklik kavramlari ortada yoktu.
Entegral kavrami türev kavraminin tersi olarak görülüyordu; türevden bagimsiz bir entegral ve entegrallesebilirlik kavrami yoktu. 1800 lerin basinda, bugün matematigin en önemli teorilerinden biri olan, kompleks fonksiyonlar teorisi henüz yoktu. Geometride, antik Yunan çagindan kalma ve çok ugrasilan bes sorudan ( Bunlarin ilk dördü, geometrik çizim yaparak, 1) bir açiyi üç esit parçaya bölmek. 2) Alani verilen bir dairenin alanina esit alani olan bir kare çizmek. 3) Hacmi verilen bir küpün hacminin iki katina esit hacmi olan bir küp bulmak; ve 4) bir dairenin içine, p sayisi asal olmak kaydi ile, hangi p ler için düzgün p-genler çizilebilecegini bulmak idi. 5. Soru, Öklid geometrisinin besinci postulati olan, “bir dogruya onun disindan bir ve yalniz bir paralel çizilebilir “ postulatinin diger dördünün sonucu olarak elde edilip-edilemeyecegi ) idi. Bu sorulardan hiç biri, 4 cü soru disinda, ki o da Gauss tarafindan daha yeni çözülmüstü, çözülememisti. Cebirde, 5 ci dereceden polinomlarin köklerinin cebirsel ( köklü ifadelerle) çözülüp-çözülemeyecegi henüz bilinmiyordu. Cebir’in grup, halka, cisim, vektör uzayi gibi hiçbir yapisi henüz ortaya çikmamisti. Matris ve vektör kavramlari henüz yoktu ( 2 li ve 3 lü determinantlar 1680 lerden beri biliniyor). Cebirin temel teoremi olarak bilinen, D’Alembert-Gauss Teoremi (“Her polinomun en az bir kompleks kökü vardir” diyen teorem) henüz ispatlanmamisti. Matematiksel fizigin ana teoremleri henüz ortada yoktu; differensiyel geometri, topoloji gibi konular henüz dogmamisti.
1800 lerin basinda matematigin durumu kisaca bu idi. 1820 lerde, A. Cauchy (1789-1855) limit kavramini, bugünkü kullandigimiz sekliyle, tanimlayip, türevi, sürekliligi ve, sürekli fonksiyonlar için, entegrali, limit kavrami yardimiyla tanimlamasi, analizi, sonsuz küçük kavramindan kaynaklanan krizden kurtarmis ve daha saglam temeller üzerine oturtulmasini saglamistir. Cauchy’nin çalismalari sonucu, kompleks fonksiyonlar teorisi dogmus ve, Cauchy, B. Riemann (1820-1866) ve K. Weierstrass (1815-1884) gibi asrin büyük matematikçilerinin çalismalariyla, matematigin en temel teorilerinden birine dönüsmüstür.
G. Dirichlet’nin (1805-1859) 1830 larda fonksiyon kavramini bugün anladigimiz manada tanimlamasi matematigi baska bir kargasadan kurtarmistir. Bu da özellikle Fourier serileri hakkinda tartismalari sona erdirecek, Fourier serileri ile ilgili çalismalari tekrar baslatacaktir. Fourier serileri Analizin gelismesinde en önemli rolü oynayan, bir bakima modern matematigin dogusuna neden olan, gerek uygulamalari ve gerekse de matematikteki merkezi konumu açisindan, matematigin en önemli konularindan biridir.
Weierstrass ve ögrencilerinin çalismalari sayesinde, 1850 lerden sonra, düzgün süreklilik, düzgün yakinsaklik gibi analizin vazgeçilmez kavramlari ortaya çikacak, fonksiyon serilerinin yakinsakligi daha iyi anlasilacaktir.
F. Gauss’un (1777-1855) “ Cebir’in Temel Teoremi, ya da D’Alembert Teoremi” olarak bilinen teoremi ispatlamasi bu asrin baska bir önemli olayidir. Bu teorem bugün cisimler teorisinden spektral analize kadar bir çok teorinin temelinde olan bir teoremdir. Bütün zamanlarin en derin, en büyük bilim adamlarindan biri olarak kabul edilen Gauss’un, sayilar teorisi, differensiyel geometri, matematiksel fizik ve astronomiye katkilari bu asrin en önemli çalismalari arasindadir.
Bu asrin ve bütün zamanlarin en önemli matematikçilerinden biri olan Riemann kisa yasaminda, daha sonra her biri büyük bir teori olacak bir düzine konuyu baslatmis ya da onlara derin katkilar yapmis, matematige kavramsal bir bakis ve yaklasim getirmistir. Bunlardan bir kaçi: Riemann entegrali ve entegrallesebilirlik kavrami, Riemann yüzeyleri, Riemann geometrisi, differensiyel geometri, sayilar teorisi (Riemann hipotezi), kompleks analiz (Riemann yüzeyleri, Cauchy-Riemann denklemleri), cebirsel geometri, matematiksel fizik ve, daha sonralari topoloji ismini alacak olan, analysis situs tür.
Yine bu asirda, yukarida sözü edilen, antik Yunan çagindan kalma 5 sorunun besi de çözülmüstür. 1. ve 3. sorularin mümkün olmadigi bir Fransiz matematikçisi olan Wentzel tarafindan 1837 de ispatlandi. 2. sorunun mümkün olmadigi, Lindemann’in 1882 de pi sayisinin tranzantal bir sayi oldugunun ispatindan sonra anlasildi. 4. soru, yukarida da söylendigi gibi Gauss tarafindan 1796 da (p=17) için ve 1801 de de diger p ler için tam olarak çözüldü. Cevap sudur: p bir asal sayi olsun. Verilen bir dairenin içine bir düzgün p-genin çizilebilmesi için gerek ve yeter kosul p nin ve seklinde olmasidir. ( k=0 için, p=3 dür; k=1 için p=5, ve k=2 için p=17 dir). Bir dairenin içine düzgün bir besgenin çizilebilecegini Öklid biliyordu; 7-gen çizilemeyecegini Arsimed biliyordu. Arsimed’den 1800 yillari arasinda geçen 2000 yilda bu soruda hiçbir ilerleme saglanmamisti; bu sorunun çözümü için Gauss’un dehasi gerekiyordu.
Öklid’ in 5. postulatina gelince, bu sorunun çözümü için insanlarin, “mantiki tutarlilik” ile “fiziki olurlulugun” ayni sey olmadigini anlamalari gerekiyordu. 5. postalatin yerine onun zitlari olan postulatlar koyarak, Öklid geometrisi kadar tutarli, iki yeni geometri olusturulabilecegi Lobachevki (1792-1856), Bolyai (1802-1860), ve Riemann tarafindan gösterildi.
Cebir cephesine gelince, genç yasta bu dünyadan ayrilan iki matematikçi, H. Abel (1802-1829) ve E. Galois (1811-1832) nin 5. dereceden polinomlarin cebirsel yöntemlerle köklerinin bulunup-bulunamayacagi konusunda çalismalari sonucu grup teorisi dogdu. Kummer (1810-1893) ve ögrencilerinin Fermat’nin büyük teoremiyle ispatlamak için verdikleri ugrasi sonucu halka teorisi ve idealler teorisi; R. Dedekind (1831-1916) Gerçel sayilarin soyut bir tanimini vermek için yaptigi çalismalar sonucu, cisim teorisi; Cayley (1821-1895 ) ve Sylvesterin (1814-1897 ) çok sayida dogrusal denklemi tek bir denklem olarak göstermek ve çözmek için yaptiklari çalismalar sonucu matris cebiri; ve Grassman (1809-1877 ) nin üç boyuttan çok boyuta geçme çabalari sonucunda da vektör uzaylari dogdu. Bu kavramlar matematige yapisal (= stuructualist) yaklasimi ve bakis açisini getirecektir.
Bu dönemi, 1700-1900 arasini, matematikte büyük ilerlemelerin oldugu, çok sayida yeni teorinin dogdugu, yapisal degisikliklerin oldugu, ispatlarda kesinligin ön plana çiktigi, kavramsal bakis açisinin hesapsal yaklasimin önüne geçtigi bir dönem, matematigin altin çagi, olarak özetleyebiliriz.
Altin çag bir krizle kapandi. Bu kriz yeni bir çagin dogum sancilariydi. Bu çag modern matematik çagidir |
