Terasınızı mahallenizde, belki de bütün dünyada görülmemiş biçimde, sadece görülmemiş değil yakın zamana kadar bilinmeyen bir biçimde karo taşlarıyla döşeyen ilk siz olun. Konuklarınızla konuşacak şey bulamadığınız bir günde ilginç konuşma konusu olur.(tabii, eğer onun büyüleyici konusu hakkında en azından bir bilginiz varsa). Nedir bu öykü? Bu taş döşeme düzeni nasıl bir şey? Bu kadar heyecan niye? Bu soruları yanıtlamak için, en azından 1920’lere beklide daha öncesine gitmemiz gerekir.

Bir dikdörtgeni hepsi farklı boyutlarda olan karelere bölme sorusunun matematik literatüründe ilk kez 1925 yazında göründü. Hatta o zaman iki belirli örnekte verilmişti. Bunlar şekilde, kenar uzunlukları tamsayıları işaretlenmiş elementer karelerle gösterilmiştir. Büyük dikdörtgenleri küçük dikdörtgenlere bölme probleminin bir kaç yıl önce söz konusu olduğu doğrudur, ancak karelere bölmeyle ilgili bilinen ilk referans budur ve kareler biraz daha özeldirler, bir anlamda nihai dikdörtgendirler. Öyleyse bu türden nihai bir problem de, herhalde büyük bir kareyi hepsi farklı büyüklükteki karelere bölmek olmalıdır. Bütün oluşturulan karelerin hepsinin farklı olmasını gerektiren sınırlama çok önemlidir. Bu olmasaydı problem önemsiz olurdu.

‘’Kareyi karelemek’’ de denilen bu nihai problemin kökeni biraz bilinmezlik içerir. Bu yüzyılın başlarında İsveçli ünlü bulmaca ustası Sam Lloyd bir yama-işi yorgan problemi ortaya attı, çözüm bir kareyi daha küçük karelere bölmeyi gerektiriyordu ancak karelerin hepsinin farklı olması gerekli değildi. Hepsinin farklı olmasının gerekliliği ‘’kareyi kareleme’’ probleminin en can alıcı noktasıdır; çünkü Sam Lloyd’un yorgan bulmacası döneminde hepsi farklı karelere ayırmanın mümkün olup olmadığı bile bilinmiyordu (küçük karelerin sayısı konusunda bir kısıtlama olmadığı halde). Gerçekte 1930’da çıkan ve problemin yayınlanmış ilk referanslarından birisinde bir öneri ileri sürülüyordu, bir kareyi, her biri diğerlerinden farklı boyutta olan, sonlu sayıda kareye bölmenin olanaksız olduğunu söylüyordu. Bu nedenle ‘’kareyi kareleme’’ problemini çözme girişiminde vurgulanacak ilk şey bir çözümün var olup olmadığının genel bir kanıtını vermeye çalışmak olmalıdır. Gerçekte böyle bir kanıtlama hiçbir zaman yapılamadı. Kareyi kareleme probleminin çözümü olan ve giderek ünlenen ilk kusursuz kare 1938’de bulunmuştu ve daha küçük 69 kareye bölünmüştü.

Bu dönemde kusursuz kareler üretecek iyice tanımlanmış hiçbir yöntem yoktu. Bu problemle ilişkili ama daha basit olan ‘’dikdörtgen kareleme’’ yani dikdörtgenleri eşit olmayan karelere bölme probleminde, daha çok yönteme dönük ilerleme kaydediliyordu. Bu bağlamda, verilen herhangi bir mertebedeki bütün dikdörtgenleri çizmek için bir yöntem bulunmuştu; burada ‘’mertebe’’ dikdörtgenin bölündüğü sayıların sayısıdır.

Günümüzde hem en küçük basit tam kare olan 21’inci mertebe kare hem de en küçük bileşik tam kare olan 24’üncü mertebe kare bilinmektedir. Her ikisi de, o mertebelerdeki yegane örnek olmak anlamında, tektir.

Şimdi size cesaret kırıcı bir öneriyle baş başa bırakabilir miyim? Kareyi başarıyla karelere böldükten sonra, küpü küplendirmeye ne dersiniz? Yani bir küpü, herhangi ikisi aynı boyutta olmayan daha küçük küplere ayırmak. Özellikle en kusursuz küpün görünümü nasıldır? Şansınızdan yanıt bilinmemektedir. Bir küpü boyutları birbirinden farklı olan, sonlu sayıda küplere ayırmak olanaksızdır. Bunun ispatı geometrinin en güzel ispatlarından birisidir.